Пълното познаване на естеството на аналитичната функция трябва също да включва поглед върху нейното поведение за въображаеми стойности на аргументите. Често последното е необходимо дори за правилното оценяване на поведението на функцията за реални аргументи. Следователно е от съществено значение първоначалното определение на концепцията за функцията да бъде разширено до област от величини, която включва както реалните, така и въображаемите величини, на равна основа, под единното обозначение комплексни числа.